💡[Math] log란 무엇일까요?

📝 Intro.

• 로그(log)는 수학적으로는 특정 밑(base)을 가진 지수의 역연산을 의미하고, 컴퓨터 과학에서는 로그를 활용한 알고리즘의 복잡도 분석, 데이터 저장, 시스템 로깅(logging) 등 다양한 용도로 사용됩니다.

✅1️⃣ 수학에서의 로그(Logarithm)

• 로그(log)는 거듭제공(지수, exponent)의 역연산입니다.

📌 로그의 정의

• 로그(log)는 “어떤 수를 밑(base)으로 몇 번 곱해야 원하는 값이 되는가”를 의미합니다.

📌 예제.

• log₂(8) = 3 (2를 몇 번 곱해야 8이 되는가? → 2³ = 8)
• log₁₀(1000) = 3 (10을 몇 번 곱해야 1000이 되는가? → 10³ = 1000)

📌 일반적인 로그 공식

• $\log_b(x) = y \quad \Rightarrow \quad b^y = x$
  • 여기서 b는 밑(base)이며, 일반적으로 2, 10, e(자연로그) 등을 사용합니다.

✅2️⃣ 로그의 종류.

1️⃣ 이진 로그(Binary Log)

• log₂(n) : 2를 밑으로 하는 로그
  • 컴퓨터 과학에서 가장 많이 사용됨.
  • 비트 연산, 알고리즘 분석, B+ 트리와 같은 데이터 구조에서 사용됨.
• 예제:
  • log₂(8) = 3 → 2³ = 8
  • log₂(32) = 5 → 2⁵ = 32

2️⃣ 자연로그 (Natural Log, In)

• logₑ(n) : 밑이 e(약 2.718)인 로그
  • 미분, 통계, 확률 이론에서 주로 사용됨.
  • 수학적 모델링 및 머신러닝에서 사용됨.
• 예제:
  • ln(e²) = 2
  • ln(e³) = 3

3️⃣ 상용로그 (Common Log)

• log₁₀(n) : 10을 밑으로 하는 로그
  • 일반적인 숫자 연산에서 사용됨.
  • 지수와 로그를 쉽게 계산할 때 사용.
• 예제:
  • log₁₀(1000) = 3
  • log₁₀(100) = 2

✅3️⃣ 로그의 성질

• 로그는 연산을 단순화하는 데 유용한 성질을 가집니다.

📌 로그의 주요 공식

1️⃣ 곱셈 ➞ 덧셈 변환

• $\log_b(A \times B) = \log_b A + \log_b B$

  📌 예제.

• log₂(8 × 4) = log₂(8) + log₂(4) = 3 + 2 = 5

2️⃣ 나눗셈 ➞ 뺄셈 변환

• $\log_b(A / B) = \log_b A - \log_b B$

  📌 예제.

• log₂(16 / 4) = log₂(16) - log₂(4) = 4 - 2 = 2

3️⃣ 거듭제곱 ➞ 곱셈 변환

• $\log_b(A^C) = C \times \log_b A$

  📌 예제.

• log₂(8²) = 2 × log₂(8) = 2 × 3 = 6

4️⃣ 밑 변환 공식

• $\log_a B = \frac{\log_c B}{\log_c A}$

  📌 예제.

• log₂(100) = log₁₀(100) / log₁₀(2) ≈ 6.64

✅4️⃣ 컴퓨터 과학에서 로그의 활용

1️⃣ 알고리즘 복잡도 분석

• 로그는 알고리즘의 실행 속도를 분석하는 데 중요합니다.
• 예를 들어, 이진 탐색(Binary Search)은 O(log N)의 시간 복잡도를 가집니다.

  📌 예제: 이진 탐색

  정렬된 배열에서 1,000개의 데이터 중 하나를 찾을 때, log₂(1000) ≈ 10
  즉, 최대 10번의 비교로 원하는 값을 찾을 수 있음.
  

📌 시간 복잡도 비교

2️⃣ 데이터베이스(B+ 트리)

• B+ 트리에서 노드가 가질 수 있는 최대 자식 수를 d라고 하면, 검색 시간은 $O(log_d(N))$입니다.
• 차수가 커질수록(즉, 더 많은 자식을 가질수록) 트리의 높이가 줄어들어 검색 성능이 향상됩니다.

  📌 왜 $O(log_d(N))$인가?

• B+ 트리에서 차수 d란 한 노드가 가질 수 있는 최대 자식의 수입니다.
• 데이터 개수를 N이라 하면, 트리의 높이(h)는 각 노드의 자식 수(d)와 데이터의 총 개수(N)로 결정됩니다.
• 트리의 높이 계산은 밑(base)이 d인 로그와 관련 있습니다.
  • 즉, 트리의 높이는 밑(base)이 d인 로그와 관련 있습니다.
• 검색 연산은 트리의 높이만큼의 레벨을 따라 내려가야 하므로 시간 복잡도는 $O(log_d(N))$

🌟 비교

• 이진 트리(Binary tree) : 밑(base)이 2 ➞ $O(log_2(N))$
• B+ 트리 : 밑(base)이 d(노드당 최대 자식 수) ➞ $O(log_d(N))$

3️⃣ 파일 시스템 및 데이터 구조

• 파일 시스템에서 디렉토리 검색, 인덱싱 등에 로그 기반 데이터 구조(예: B+ 트리)를 사용하여 성능을 최적화합니다.

4️⃣ 머신러닝과 AI

• 머신러닝에서는 로그 함수가 데이터 정규화, 확률 모델링, 손실 함수(log-likelihood) 등에 활용됩니다.

🎯5️⃣ 정리.

• ✅1️⃣ 로그(log)는 지수 연산의 역연산이며, “어떤 수를 몇 번 곱해야 원하는 값이 되는가?”를 의미합니다.
• ✅2️⃣ 컴퓨터 과학에서 로그는 알고리즘 분석, 데이터 구조, 데이터베이스, 머신러닝 등 다양한 분야에서 활용됩니다.
• ✅3️⃣ 이진 탐색, B+ 트리, 파일 시스템, 인공지능 등 많은 분야애서 O(log N) 성능 최적화를 위해 사용됩니다.

🚀 결론

• 로그는 컴퓨터 과학과 수학에서 매우 중요한 개념으로, 효율적인 데이터 처리와 성능 최적화에 필수적인 개념입니다!